Tex Avery est né le 26 février 1908 et a passé son enfance dans sa ville natale de Taylor au Texas. Il serait le descendant de l'aventurier Daniel Boone et le petit-fils du juge Roy Bean. Il a commencé à dessiner à l’âge de 13 ans en écrivant des bandes dessinées pour le journal de son lycée. Une phrase populaire à son école était « what's up, doc? » qui sera popularisée comme phrase principale de Bugs Bunny dans les années 1940.
À la fin de son adolescence, il partit faire des études au Art Institute of Chicago où il se forme aux métiers de dessinateur et d'animateur, le temps d'un été, puis il obtient son diplôme à la North Dallas High School (en) en 19261. Rapidement, ne trouvant aucun emploi en tant que dessinateur de bandes dessinées, Avery se lança dans l’animation, pensant qu’il aurait le temps de travailler sur sa première bande dessinée et emménagea en Californie.
Sa carrière dans l'animation commença, donc, en 1929 aux studios de Walter Lantz chez Universal, comme intervalliste, où il prend le surnom de Fred Avery. En 1930, il devient animateur et travaille essentiellement sur la série Oswald le lapin chanceux soit dans l'équipe de Walter Lantz, soit dans celle de Bill Nolan. Il en réalisa même deux cartoons. C'est à cette époque qu'il rencontre une « encreuse », Patricia Johnson, sa future épouse, et qu'il devient borgne en prenant dans l’œil une agrafe, lancée par un membre du groupe, tellement l'ambiance était détendue (il ne porta pas plainte pour cela). Certains ont spéculé sur le fait que le manque de vision d'Avery expliquerait son style unique et sa façon particulière de faire un dessin animé.